Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知平面BB₁C₁C⊥平面ABC，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，且B₁D⊥BC₁．
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面B₁AD；
（Ⅱ）證明BC₁⊥平面B₁AD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BA₁交AB₁與點(diǎn)O，由棱柱知側(cè)面AA₁B₁B為平行四邊形，進(jìn)而判斷出O為BA₁的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，推斷出OD∥A₁C，利用線面平行的判定定理推斷出A₁C∥平面B₁AD．
（Ⅱ）由D是BC的中點(diǎn)，AB=AC，可知AD⊥BC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理知AD⊥平面BB₁C₁C，進(jìn)而根據(jù)性質(zhì)推斷出AD⊥BC₁，最后根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出BC₁⊥平面B₁AD．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BA₁交AB₁與點(diǎn)O，由棱柱知側(cè)面AA₁B₁B為平行四邊形，
∴O為BA₁的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，
∴OD∥A₁C，
∵A₁C?平面B₁AD，OD?平面B₁AD，
∴A₁C∥平面B₁AD．
（Ⅱ）∵D是BC的中點(diǎn)，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，平面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BC₁?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BC₁，
又B₁D⊥BC₁，且AD∩B₁D=D，
∴BC₁⊥平面B₁AD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找打線與平面內(nèi)兩相交的直線垂直．