Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求直線PB與平面ABCD所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，即可解決問題；
（2）易證PD⊥MB，又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，然后利用平面與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明；
（3）連結(jié)BD，由PD⊥底ABCD，且PD=CD，得∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，由此能求出直線PB與平面ABCD所成的角．

解答： （1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，
∵點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，
∴QN∥BC∥MD，且QN=MD，
∴四邊形MQND是平行四邊形，∴DN∥MQ，
∵M(jìn)Q?平面PMB，DN?平面PMB，
∴DN∥平面PMB．

（2）證明：∵PD⊥底ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB，
又∵底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，
∴MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
∴MB⊥平面PAD．
∵M(jìn)B⊥平面PAD，MB?平面PMB，
∴平面PMB⊥平面PAD．

（3）解：連結(jié)BD，
∵底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，
∴△ABD是邊長為a的等邊三角形，
∵PD⊥底ABCD，且PD=CD，
∴∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，
又Rt△PBD中，PD=BD=a，∠PBD=45°，
∴直線PB與平面ABCD所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面的位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和探究能力，同時(shí)考查學(xué)生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．