【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,,,,.
(1)求證:平面PCA⊥平面PCD;
(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點,若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出CD⊥AC,PA⊥CD,從而CD⊥平面PCA,由此能證明平面PCA⊥平面PCD.
(Ⅱ)以A為坐標原點,AB,AC,AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值.
解:(Ⅰ)在平行四邊形ABCD中,∠ADC=60°,,,由余弦定理得
,
∴,∴∠ACD=90°,即CD⊥AC,
又PA⊥底面ABCD,CD底面ABCD,∴PA⊥CD,
又,∴CD⊥平面PCA.
又CD平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.
(Ⅱ)如圖,以A為坐標原點,AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系.
則,,,,.
設(shè),,
則
∴x=0,,,即點E的坐標為
∴
又平面ABCD的一個法向量為
∴sin45°
解得
∴點E的坐標為,∴,,
設(shè)平面EAB的法向量為
由得
令z=1,得平面EAB的一個法向量為
∴.
又二面角E-AB-D的平面角為銳角,
所以,二面角E-AB-D的余弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小李在做一份調(diào)查問卷,共有4道題,其中有兩種題型,一種是選擇題,共2道,另一種是填空題,共2道.
(1)小李從中任選2道題解答,每一次選1題(不放回),求所選的題不是同一種題型的概率;
(2)小李從中任選2道題解答,每一次選1題(有放回),求所選的題不是同一種題型的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙3位大學(xué)生同時應(yīng)聘某個用人單位的職位,甲、乙兩人只有一人被選中的概率為,兩人都被選中的概率為,丙被選中的概率為,且三人各自能否被選中互不影響.
(1)求3人同時被選中的概率;
(2)求恰好有2人被選中的概率;
(3)求3人中至少有1人被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列兩組數(shù)據(jù):甲:12,13,11,10,14.乙:10,17,10,13,10.
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均差,并根據(jù)計算結(jié)果判斷哪組數(shù)據(jù)波動大.
(2)分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差,并根據(jù)計算結(jié)果判斷哪組數(shù)據(jù)波動大.
(3)以上兩種判斷方法的結(jié)果是否一致?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽,對他們的射擊水平進行了測試,兩人在相同條件下各射擊10次,命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.
乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
(1)分別計算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的極差、眾數(shù)和中位數(shù);
(2)分別計算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)、方差、標準差;
(3)比較兩人的成績,然后決定選擇哪一個人參賽.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)的圖象和性質(zhì)將進行了探究,探究過程如下,請補充完整.
(1)自變量的取值范圍是除外的全體實數(shù),與的幾組對應(yīng)值列表如下:
其中,_________;
(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標系中描點并畫出了函數(shù)圖象的一部分,請畫出該函數(shù)圖象的另一部分;
(3)觀察函數(shù)圖象,寫出一條函數(shù)性質(zhì);
(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):
①函數(shù)圖象與軸交點情況是________,所以對應(yīng)方程的實數(shù)根的情況是________;
②方程有_______個實數(shù)根;
③關(guān)于的方程有個實數(shù)根,的取值范圍是________.
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