已知定點A(-2,0),B(2,0),及定點F(1,0),定直線l:x=4,不在x軸上的動點M到定點F的距離是它到定直線l的距離的
1
2
倍,設(shè)點M的軌跡為E,點C是軌跡E上的任一點,直線AC與BC分別交直線l與點P,Q.
(1)求點M的軌跡E的方程;
(2)試判斷以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點F,并說明理由.
(1)由橢圓的第二定義可知:
點M的軌跡E是以定點F(1,0)為焦點,離心率e=
1
2
,直線l:x=4為準(zhǔn)線的橢圓(除去與x軸相交的兩點).
∴c=1,
c
a
=
1
2
,∴a=2,b2=22-12=3,
∴點M的軌跡為橢圓E,其方程為
x2
4
+
y2
3
=1
(除去(±2,0)).
(2)以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過定點F.下面給出證明:
如圖所示:設(shè)C(x0,y0),(x0≠±2),則直線AC的方程為:y=
y0
x0+2
(x+2)

令x=4,則yP=
6y0
x0+2
,∴P(4,
6y0
x0+2
)
,∴kPF=
6y0
x0+2
4-1
=
2y0
x0+2

直線BC的方程為:y=
y0
x0-2
(x-2)
,令x=4,則yQ=
2y0
x0-2
,∴Q(4,
2y0
x0-2
)
,∴kQF=
2y0
x0-2
4-1
=
2y0
3(x0-2)

∴kPF•kQF=
2y0
x0+2
×
2y0
3(x0-2)
=
4y02
3(x02-4)

∵點C(x0,y0)在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上,∴
x02
4
+
y02
3
=1
,∴
4y02
3(x02-4)
=-1,
∴kPF•kQF=-1.
因此以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過定點F.
練習(xí)冊系列答案
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已知半徑為1的動圓與定圓(x-5)2+(y+6)2=9相切,則動圓圓心的軌跡方程是( 。
A.(x-5)2+(y+6)2=16
B.(x-5)2+(y-6)2=16或(x-5)2+(y-6)2=4
C.(x-5)2+(y+6)2=4
D.(x-5)2+(y+6)2=16或(x-5)2+(y+6)2=4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在同一坐標(biāo)系中,方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
與ax+by2=0(a>b>0)的曲線大致是( 。
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有兩定點M(-1,0),N(1,0),點P滿足|
PM
|+|
PN
|=4
,則動點P的軌跡方程是______,|
PM
|
的最大值等于______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)過點P(x,y)的直線分別與x軸和y軸交于A,B兩點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱,O為坐標(biāo)原點,若
BP
=3
PA
OQ
AB
=4

(1)求點P的軌跡M的方程;
(2)過F(2,0)的直線與軌跡M交于A,B兩點,求
FA
FB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點A(0,
3
)
和圓O1x2+(y+
3
)2=16
,點M在圓O1上運動,點P在半徑O1M上,且|PM|=|PA|,求動點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知動點M(x,y)在曲線C上,點M與定點F(1,0)的距離和它到直線m:x=4的距離的比是
1
2

(1)求曲線C的方程;
(2)點E(-1,0),∠EMF的外角平分線所在直線為l,直線EN垂直于直線l,且交FM的延長線于點N.試求點P(1,8)與點N連線的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知坐標(biāo)平面內(nèi)⊙C:(x+1)2+y2=
1
4
,⊙D:(x-1)2+y2=
49
4
.動圓P與⊙C外切,與⊙D內(nèi)切.
(1)求動圓圓心P的軌跡C1的方程;
(2)若過D點的斜率為2的直線與曲線C1交于兩點A、B,求AB的長;
(3)過D的動直線與曲線C1交于A、B兩點,線段AB中點為M,求M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知m∈R,則動圓x2+y2+4mx-2my+6m2-4=0的圓心的軌跡方程為______.

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同步練習(xí)冊答案