Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）在曲線(xiàn)C上，點(diǎn)M與定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到直線(xiàn)m：x=4的距離的比是

1

2

．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）點(diǎn)E（-1，0），∠EMF的外角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)為l，直線(xiàn)EN垂直于直線(xiàn)l，且交FM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．試求點(diǎn)P（1，8）與點(diǎn)N連線(xiàn)的斜率k的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)點(diǎn)M到直線(xiàn)m：x=4的距離為d，
根據(jù)題意，可得

|MF|

d

=

1

2

，
即

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化簡(jiǎn)得

x2

4

+

y2

3

=1．
∴曲線(xiàn)C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得曲線(xiàn)C是E（-1，0）、F（1、0）為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，2a=4．
根據(jù)題意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴點(diǎn)N的軌跡是以F（1，0）為圓心，4為半徑的圓．
又∵直線(xiàn)PN的方程為：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圓心F到直線(xiàn)PN的距離d小于等于半徑，可得

|k+8-k|

k2+1

≤4，
解之得k≤-

3

或k≥

3

，可得斜率k的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．