【題目】某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段后,畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求第四小組的頻率,補全頻率分布直方圖,并求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)和方差,(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);
(2)從被抽取的數(shù)學(xué)成績是分以上(包括分)的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率;
(3)假設(shè)從全市參加高一年級期末考試的學(xué)生中,任意抽取個學(xué)生,設(shè)這四個學(xué)生中數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>分以上(包括分)的人數(shù)為(以該校學(xué)生的成績的頻率估計概率),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)通過各組的頻率和等于,求出第四組的頻率,考查直方圖,面積一半的橫坐標(biāo)就是中位數(shù),每個矩形的中點橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)相乘后求和,即可得到平均數(shù),最高矩形的中點橫坐標(biāo)為眾數(shù),利用方差公式可求得方差;(2)分別求出, , 的人數(shù)是, , ,然后根據(jù)組合知識利用古典概型概率求解即可;(3), 即可寫出分布列,利用二項分布的期望公式可得結(jié)果.
試題解析:(1)因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率:
.
直方圖如圖所示.
中位數(shù)是,
樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)是分.眾數(shù)是75;=71;=194
(2), , 的人數(shù)是, , ,所以從成績是分以上(包括分)的學(xué)生中選兩人,他們在同一分數(shù)段的概率:
.
(3)因為, , ,
所以其分布列為:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
0.2401 | 0.4116 | 0.2646 | 0.0756 | 0.0081 |
數(shù)學(xué)期望為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求f(x)的定義域;
(2)當(dāng)x∈(1,+∞),
①求證:f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);
②求使關(guān)系式f(2+m)>f(2m-1)成立的實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)橢圓的左焦點為F,左頂點為A,已知,其中O為坐標(biāo)原點,e為橢圓的離心率.
求橢圓C的方程;
是否存在斜率為的直線l,使得當(dāng)直線l與橢圓C有兩個不同交點M,N時,能在直線上找到一點P,在橢圓C上找到一點Q,滿足?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
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【題目】國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人,女生10000人.該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運動狀況,根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計他們平均每天運動的時間(已知該校學(xué)生平均每天運動的時間范圍是 ),如下表所示.
男生平均每天運動的時間分布情況:
女生平均每天運動的時間分布情況:
(1)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)均可用該組區(qū)間的中間值代替,請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運動的時間(結(jié)果精確到0.1).
(2)若規(guī)定平均每天運動的時間不少于的學(xué)生為“運動達人”,低于的學(xué)生為“非運動達人”.
(ⅰ)根據(jù)樣本估算該!斑\動達人”的數(shù)量;
(ⅱ)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“運動達人”與性別有關(guān).
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
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【題目】已知向量.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)若方程上有解,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)設(shè),已知區(qū)間[a,b](a,b∈R且a<b)滿足:y=g(x)在[a,b]上至少含有100個零點,在所有滿足上述條件的[a,b]中求b﹣a的最小值.
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【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得,已知平面 為的中點, 面.
(1)求的長;
(2)求證:面面;
(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值.
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【題目】下圖中有一個信號源和五個接收器,接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時,就能接收到信號,否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組,將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組,再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接,則這五個接收器不能同時接收到信號的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.
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【題目】某地區(qū)積極發(fā)展電商,通過近些年工作的開展在新農(nóng)村建設(shè)和扶貧過程中起到了非常重要的作用,促進了農(nóng)民生活富裕,為了更好地了解本地區(qū)某一特色產(chǎn)品的宣傳費 (千元)對銷量 (千件)的影響,統(tǒng)計了近六年的數(shù)據(jù)如下:
(1)若近6年的宣傳費與銷量呈線性分布,由前5年數(shù)據(jù)求線性回歸直線方程,并寫出的預(yù)測值;
(2)若利潤與宣傳費的比值不低于20的年份稱為“吉祥年”,在這6個年份中任意選2個年份,求這2個年份均為“吉祥年”的概率
附:回歸方程的斜率與截距的最小二乘法估計分別為,
,其中, 為, 的平均數(shù).
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