【題目】在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E為PC中點,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(Ⅰ)求證:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)求證:BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點,試確定的值,使得二面角Q—BD—P為45°.
【答案】(Ⅰ)略
(Ⅱ)略
(Ⅲ)
【解析】
解:(1)取PD的中點F,連接EF,AF,
因為E為PC中點,所以EF//CD,且,
在梯形ABCD中,AB//CD,AB=1,
所以EF//AB,EF=AB,四邊形ABEF為平行四邊形,
所以BE//AF,
BE平面PAD,AF平面PAD,
所以BE//平面PAD.
(2)平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,
所以PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AD.
如圖,以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1)
所以
又由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC,
所以BC⊥平面PBD.
(3)平面PBD的法向量為=(-1,1,0)
所以Q
設(shè)平面QBD的法向量為
則,
所以,
所以
注意到
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【題目】 設(shè)橢圓的左焦點為,左頂點為,頂點為B.已知(為原點).
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為,圓同時與軸和直線相切,圓心在直線上,且,求橢圓的方程.
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【題目】如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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【題目】如圖所示,已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC長為7 cm,腰長為2cm,當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從B點開始由左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時,直線l把梯形分成兩部分,令BF=x(0≤x≤7),左邊部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,畫出程序框圖,并寫出程序.
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【題目】設(shè)p:f(x)=1+ax,在(0,2]上f(x)≥0恒成立,q函數(shù)g(x)=ax+2lnx在其定義域上存在極值.
(1)若p為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)如果“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成,下部為矩形,的長分別為和,上部是圓心為的劣弧,.
(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離;
(2)現(xiàn)欲以B點為支點將拱門放倒,放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示.設(shè)與地面水平線所成的角為.記拱門上的點到地面的最大距離為,試用的函數(shù)表示,并求出的最大值.
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【題目】如圖,,分別是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條東西和南北走向的街道,連接M,N兩地間的鐵路是圓心在上的一段圓。酎cM在點O正北方向,且,點N到,的距離分別為5km和4km.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路路線所在圓弧的方程.
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于km,求該校址距點O的最近距離.
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【題目】設(shè)點為拋物線外一點,過點作拋物線的兩條切線,,切點分別為,.
(Ⅰ)若點為,求直線的方程;
(Ⅱ)若點為圓上的點,記兩切線,的斜率分別為,,求的取值范圍.
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