【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn , 且對(duì)任意的m,n∈N*,
都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n .
(1)求 的值;
(2)求證:{an}為等比數(shù)列;
(3)已知數(shù)列{cn},{dn}滿足|cn|=|dn|=an , p(p≥3)是給定的正整數(shù),數(shù)列{cn},{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp , Rp , 且Tp=Rp , 求證:對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ck=dk .
【答案】
(1)解:由(Sm+n+S1)2=4a2ma2n.取m=n=1,可得 ,
∵a1,a2>0,∴a2+2a1=2a2,化為 =2
(2)證明:由(Sm+n+S1)2=4a2ma2n.
令m=n,可得S2n+a1=2a2n,①
∴S2n+2+a1=2a2n+2.②
令m=n+1,可得 ,③
∴③﹣①可得:a2n+1=2 ﹣2a2n= ,④
②﹣③可得:a2n+2= ,⑤
由④⑤可得: ,⑥
把⑥代入④可得:a2n+1=2a2n,
把⑥代入⑤可得:a2n+2=2a2n+1,
∴ =2,又 =2.∴ ,n∈N*.
∴{an}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為a1,公比為2
(3)證明:由(2)可知:an= ,
∵|cn|=|dn|=an= ,
∴cp=±dp,若cp=﹣dp,
不妨設(shè)cp>0,cp<0,
則Tp≥ ﹣ = ﹣ =a1>0,
Rp≤﹣ + =﹣ + =﹣a1<0,
這與Tp=Rp矛盾,∴cp=dp,
于是Tp﹣1=Rp﹣1,可得cp﹣1=dp﹣1,于是cp﹣2=dp﹣2,…,c1=d1.
∴對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ck=dk.
【解析】(1)由(Sm+n+S1)2=4a2ma2n . 取m=n=1,可得 ,利用a1 , a2>0,即可得出.(2)由(Sm+n+S1)2=4a2ma2n . 令m=n,可得S2n+a1=2a2n , S2n+2+a1=2a2n+2 . 令m=n+1,可得 ,化簡(jiǎn)整理可得:a2n+1=2a2n , a2n+2=2a2n+1 , 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(3)由(2)可知:an= ,由于|cn|=|dn|=an= ,可得cp=±dp , 若cp=﹣dp , 不妨設(shè)cp>0,cp<0,則Tp≥a1>0,Rp≤﹣a1<0,這與Tp=Rp矛盾,可得cp=dp , 于是Tp﹣1=Rp﹣1 , 即可證明.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,又滿足 =0.
(1)求m的值;
(2)求直線PQ的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB長(zhǎng)度為a(a為定值),在其上任意選取一點(diǎn)M,在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF,⊙P和⊙Q是這兩個(gè)正方形的外接圓,它們交于點(diǎn)M、N.試以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.
(1)證明:不論點(diǎn)M如何選取,直線MN都通過一定點(diǎn)S;
(2)當(dāng) 時(shí),過A作⊙Q的割線,交⊙Q于G、H兩點(diǎn),在線段GH上取一點(diǎn)K,使 = 求點(diǎn)K的軌跡.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{an}滿足:a1= ,an+1= (an+ ),(n∈N*),bn=log5 .
(1)證明{bn}為等比數(shù)列,并求{bn}通項(xiàng)公式;
(2)若cn= ,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn<6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下三個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),K為非零常數(shù),若|PA|﹣|PB|=K,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.
②方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線 與橢圓 +y2=1有相同的焦點(diǎn).
④已知拋物線y2=2px,以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線相切
其中真命題為(寫出所以真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線 的離心率e=2,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax2+bx﹣c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2 , 則點(diǎn)P(x1 , x2) 滿足( )
A.必在圓x2+y2=2內(nèi)
B.必在圓x2+y2=2外
C.必在圓x2+y2=2上
D.以上三種情形都有可能
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,傾斜角為的直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), 的面積為.
(1)求;
(2)設(shè)點(diǎn)為直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn),過點(diǎn)作的斜率分別為的兩條弦,如果,證明直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量 =( sinx,sinx), =(cosx,sinx),x∈[0, ]
(1)若| |=| |,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)= ,求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)
參加書法社團(tuán) | 未參加書法社團(tuán) | |
參加演講社團(tuán) | 8 | 5 |
未參加演講社團(tuán) | 2 | 30 |
(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)的概率;
(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 3名女同學(xué)B1 , B2 , B3 . 現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.
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