Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性與極值；
（3）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k=f'（1），故可求出切線方程；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系即可求出，
（3）由（2）值知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極小值就是最小值，再根據(jù)端點值得到函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）a=2時，f（x）=x-2lnx，
∴f′(x)=1-

2

x

，
∴k=f'（1）=-1，
又f（1）=1，
故切線方程為：y-1=-1（x-1）
即y=-x+2．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

①當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
②當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
f_極小=f（a）=a-alna，無極大值．
（3）因為當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在[1，2]上遞減，在（2，3]上遞增．
最小值為f（2）=2-2ln2
因為f（1）=1，f（3）=3-2ln3．
f（1）＞f（3）．
所以最大值為1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即切線方程的求法，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值最值的關(guān)系，屬于中檔題