如圖，G為△OBC的重心，PQ為過重心的直線，交OB與OC于P，Q點(diǎn)．
①用
OP
，
OQ
表示
OG
；
②若
OP
=x
OA
，
OQ
=y
OB
，求證
1
x
+
1
y
為定值．
考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：①由于點(diǎn)P、G、Q三點(diǎn)共線，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)λ使得
PG
=λ
GQ
．化簡即可得出．
②利用①的結(jié)論和重心定理、向量的平行四邊形法則即可得出．
解答： ①解：∵點(diǎn)P、G、Q三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得
PG
=λ
GQ
．
∴
OG
-
OP
=λ(
OQ
-OG)，
化為
OG
=
1
1+λ
OP
+
λ
1+λ
OQ
.(λ∈[
1
2
，2])．
②證明：∵
OP
=x
OA
，
OQ
=y
OB
，
∴
OG
=
x
1+λ
OA
+
λy
1+λ
OB
，
又
OG
=
2
3
OM
=
2
3
×
1
2
(
OA
+
OB
)=
1
3
OA
+
1
3
OB
，
∴
x
1+λ
=
1
3
，
λy
1+λ
=
1
3
．
∴
1
x
+
1
y
=
3
1+λ
+
3λ
1+λ
=3為定值．
點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、重心定理、向量的平行四邊形法則等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對任意的實(shí)數(shù)m，直線y=mx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是（　�。�
A、相切
B、相交且直線過圓心
C、相交且直線不過圓心
D、相離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC，中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知b2-a2+c2-
2
bc=0，bsinB-csinC=a．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
2
，求c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

售價(jià)為2元的某種彩票的中獎(jiǎng)概率如下：
中獎(jiǎng)金額/元 0 2 4 8
中獎(jiǎng)概率 0.7 0.2 0.08 0.02
（Ⅰ）某人花6元買三張?jiān)摲N彩票，恰好獲利2元的概率為多少？
（Ⅱ）某人花4元買兩張?jiān)摲N彩票，記獲利為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

徐州古稱彭城，三面環(huán)山，歷來是兵家必爭之地，擁有云龍山、戶部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客來徐州游覽，已知該游客游覽云龍山的概率為
2
3
，游覽戶部山、子房山和九里山的概率都是
1
2
，且該游客是否游覽這四座山相互獨(dú)立．
（1）求該游客至多游覽一座山的概率；
（2）用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的山數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司發(fā)現(xiàn)當(dāng)他們的產(chǎn)品價(jià)格每年以3%的幅度上漲時(shí)，公司的利潤最大，這樣下去，至少經(jīng)過多少年其價(jià)格翻一番？試編寫恰當(dāng)?shù)乃惴▊未a，解決這個(gè)問題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-m）．若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知0＜a≤
π
2
，設(shè)函數(shù)f（x）=
2x-1
2x+1
-cos（x+
π
2
）+1（x∈[-a，a]的最大值為P，最小值為Q，則P+Q的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα=
4
5
，且α是第二象限角，則cosα=
 
．

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同步練習(xí)冊答案