Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a²+b²的最小值是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、10
• D、

  1

  100

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，根據(jù)直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，得一不等式，對式子進(jìn)行恰當(dāng)變形后，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得a²+b²的最小值．

解答： 解：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，
即

a2+b2

≥

|x-2|

(x2-1)2+(2x)2

，
∴a²+b²≥(

x-2

1+x2

)2=

1

(x-2+ 5 x-2 +4)2

≥

1

100

，
因?yàn)閤-2+

5

x-2

在x∈[3，4]是減函數(shù)，上述式子在x=3，a=-

2

25

，b=-

3

50

時(shí)取等號，
故a²+b²的最小值為

1

100

．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及不等式知識，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力，能力要求較高．