Question

【題目】已知奇函數(shù)f（x）=ax+ka-x，（a＞0且a≠1，k∈R）．

（1）求實數(shù)k的值；

（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)y=（f（x）+2）ax在[-1，1]上的最大值為7？

Answer 1

【答案】（1）k=-1（2）存在a=或a=2,使函數(shù)y=（f（x）+2）ax在[-1，1]上的最大值為7

【解析】

（1）f（x）=ax+ka-x為奇函數(shù)，則f（0）=1+k=0，進(jìn)而求解；

（2）由（1）知y=（f（x）+2）ax=（ax）2+2ax-1，設(shè)ax=t，（t＞0），則g（t）=t2+2t-1進(jìn)而求解．

解：（1）f（x）=ax+ka-x為奇函數(shù)，則f（0）=1+k=0，解得k=-1；

（2）由（1）知f（x）=ax-a-x，y=（f（x）+2）ax=（ax-a-x+2）ax=（ax）2+2ax-1，

設(shè)ax=t，（t＞0），則g（t）=t2+2t-1，令g（t）=7，即t2+2t-1=7，解得t=2或t=-4（舍）

∴ax=2，若0＜a＜1，則y=ax在[-1，1]為減函數(shù)，∴a=；若a＞1，則y=ax在[-1，1]為增函數(shù)，∴a=2；

綜上，存在a=或a=2使函數(shù)y=（f（x）+2）ax在[-1，1]上的最大值為7．