Question

已知二項(xiàng)式（1+2x）ⁿ的展開式中只有第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則2ⁿ⁺⁴除以7的余數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出n的值；先將2ⁿ⁺⁴的底數(shù)寫成7+1的形式，再利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開求出2ⁿ⁺⁴除以7的余數(shù)．

解答： 解：由二項(xiàng)式（1+2x）ⁿ的展開式中只有第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得n=12．
 2ⁿ⁺⁴=2¹⁶=2（7+1）⁵=2[C₅⁰7⁵+C₅¹7⁴+…+C₅⁴•7+C₅⁵]，
∴2ⁿ⁺⁴除以7的余數(shù)是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：解決一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)得到的余數(shù)問題，一般先將被除數(shù)寫成底數(shù)用除數(shù)與小于除數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和表示，然后利用二項(xiàng)式定理將其展開即求出所求的余數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．