【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(3﹣ax).
(1)當(dāng) 時(shí),函數(shù)f(x)恒有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù),并且f(x)的最大值為1.如果存在,試求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)t=3﹣ax,
∵a>0,且a≠1,則t=3﹣ax為R上的減函數(shù),
∴ 時(shí),t的最小值為 ,
又∵當(dāng) ,f(x)恒有意義,即t>0對(duì) 恒成立,
∴tmin>0,即 ,
∴a<2,又a>0,且a≠1,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪(1,2)
(2)解:令t=3﹣ax,則y=logat,
∵a>0時(shí),函數(shù)t(x)為R上的減函數(shù),y=logax在定義域上為增函數(shù),
∴y=logat為減函數(shù),
∴與函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)不符,
∴0<a<1,
∴當(dāng)x∈[2,3]時(shí),t(x)最小值為3﹣3a,即此時(shí)f(x)最大值為loga(3﹣3a),
由題意可知,f(x)的最大值為1,
∴l(xiāng)oga(3﹣3a)=1,
∴ ,即 ,
∴ ,
故存在實(shí)數(shù) ,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù),并且f(x)的最大值為1.
【解析】(1)根據(jù)題意及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知,f(x)在上恒成立,即代數(shù)式3-ax的最小值大于零,從而結(jié)合a>0,a≠1求得a的取值范圍;(2)本小題的解題思路是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)確定a的取值范圍,再結(jié)合f(x)的最大值為1求得a的值.特別需要注意的是解對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)題目時(shí)必須考慮自變量要在函數(shù)定義域內(nèi).
【考點(diǎn)精析】掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是解答本題的根本,需要知道復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”;對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域范圍:(0,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車(chē),產(chǎn)量分別是1600輛、6000輛和2000輛,為檢驗(yàn)公司的產(chǎn)品質(zhì)量,現(xiàn)從這三種型號(hào)的轎車(chē)種抽取48輛進(jìn)行檢驗(yàn),這三種型號(hào)的轎車(chē)依次應(yīng)抽取 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M﹣QB﹣C為30°,求線(xiàn)段PM與線(xiàn)段MC的比值t.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】x∈R,則f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=x2 ,
B.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0
C. ,
D. ,g(x)=x﹣3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(3,m)在拋物線(xiàn)E上,且|AF|=4.
(1)求拋物線(xiàn)E的方程;
(2)已知點(diǎn)G(﹣1,0),延長(zhǎng)AF交拋物線(xiàn)E于點(diǎn)B,證明:以點(diǎn)F為圓心且與直線(xiàn)GA相切的圓,必與直線(xiàn)GB相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為( )
甲 | 乙 | 原料限額 | |
A(噸) | 3 | 2 | 12 |
B(噸) | 1 | 2 | 8 |
A.12萬(wàn)元
B.16萬(wàn)元
C.17萬(wàn)元
D.18萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a>0.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)= (x∈R,且x≠﹣1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f(g(2)),g(f(2))的值;
(3)求f(g(x)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工科院校對(duì)A,B兩個(gè)專(zhuān)業(yè)的男女生人數(shù)進(jìn)行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:
專(zhuān)業(yè)A | 專(zhuān)業(yè)B | 總計(jì) | |
女生 | 12 | 4 | 16 |
男生 | 38 | 46 | 84 |
總計(jì) | 50 | 50 | 100 |
(Ⅰ)從B專(zhuān)業(yè)的女生中隨機(jī)抽取2名女生參加某項(xiàng)活動(dòng),其中女生甲被選到的概率是多少?
(Ⅱ)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為工科院校中“性別”與“專(zhuān)業(yè)”有關(guān)系呢?
注: .
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.025 |
k | 1.323 | 2.072 | 3.841 | 5.024 |
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