(2013•成都模擬)已知向量
.
m
=(
3
sin
x
4
,1),
.
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
),f(x)=
.
m
.
n

(1)若f(x)=1,求cos(x+
π
3
)的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c且滿足acosC+
1
2
c=b,求函數(shù)f(B)的取值范圍.
分析:(1)由兩向量的坐標(biāo),利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f(x)的解析式,再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由f(x)=1,得出sin(
x
2
+
π
6
)的值,最后將所求的式子中的角提取2,利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后,將sin(
x
2
+
π
6
)的值代入即可求出值;
(2)利用余弦定理表示出cosC,代入已知的等式,整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中,得出cosA的值,由A為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù),進(jìn)而確定出B的范圍,得出
B
2
+
π
6
的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域,即為f(B)的范圍.
解答:解:(1)∵
m
=(
3
sin
x
4
,1),
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
),
∴f(x)=
m
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
,
又f(x)=1,
∴sin(
x
2
+
π
6
)=
1
2
,(4分)
∴cos(x+
π
3
)=cos2(
x
2
+
π
6
)=1-2sin2
x
2
+
π
6
)=
1
2
;(6分)
(2)∵cosC=
a2+b2-c2
2ab
,acosC+
1
2
c=b,
∴a•
a2+b2-c2
2ab
+
1
2
c=b,即b2+c2-a2=bc,
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
,
又∵A∈(0,π),∴A=
π
3
,(10分)
又∵0<B<
3
,
π
6
B
2
+
π
6
π
2

∴f(B)∈(1,
3
2
).(12分)
點(diǎn)評:此題考查了余弦定理,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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①③④
①③④
(填上所有正確的序號)
①f(x)=x2(x≥0);②f(x)=ex(x∈R);③f(x)=
4x
x2+1
(x≥0)
;④f(x)=loga(ax-
1
8
)(a>0,a≠1)

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600
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