【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ (a>0)
(1)若函數(shù)f(x)在x=2處的切線與x軸平行,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;
(3)證明: >e.
【答案】
(1)解:∵ ,(x>0)
∵函數(shù)f(x)在x=2處的切線與x軸平行
∴f′(2)= ,解得a=
(2)解:∵ = ,(x>0,a>0)
令h(x)=ax2+(2a﹣2)x+a,(a>0),△=4﹣8a
①)當(dāng)△=4﹣8a≤0,即a 時(shí),f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增;
②當(dāng)△=4﹣8a>0,即0<a 時(shí),拋物線y=ax2+(2a﹣2)x+a的圖象如下,與橫軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1= ,x2=
h(1)=4a﹣2<0,h(2)=9a﹣4
當(dāng)h(2)=9a﹣4≤0,即0 時(shí),h(x)≤0在(1,2)上恒成立,∴f′(x)≤0在(1,2)上恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減
當(dāng)h(2)=9a﹣4<0,即 時(shí),h(x)≤0在(1,x2)上恒成立,h(x)≥0在(x2,2)上恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1, ]上單調(diào)遞減
,在( ,2)上單調(diào)遞增
(3)證明:由(2)可知,當(dāng)a=0.5時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增;即lnx 在區(qū)間[1,2]上恒成立.
令x=1+ ,(n∈N+),則有l(wèi)n(1+ )>
(n+0.5)ln >1ln( )n+0.5>1 ,
令n=2017,可得 >e
【解析】(1) ,(x>0)由f′(2)= ,解得a(2) = ,(x>0,a>0),令h(x)=ax2+(2a﹣2)x+a,(a>0),△=4﹣8a,分①)當(dāng)△=4﹣8a≤0,即a 時(shí),②當(dāng)△=4﹣8a>0,即0<a 討論;(3)由(2)可知,當(dāng)a=0.5時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增;即lnx 在區(qū)間[1,2]上恒成立,令x=1+ ,(n∈N+),則有l(wèi)n(1+ )> (n+0.5)ln >1ln( )n+0.5>1 ,令n=2017,可得 >e.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.極坐標(biāo)系中方程ρ2﹣4ρcosθ=0和ρ﹣4cosθ=0表示的是同一曲線
B.
C.不等式|a+b|≥|a|﹣|b|等號(hào)成立的條件為ab≤0
D.在極坐標(biāo)系中方程 表示的圓和一條直線.
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【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的方程為 ,直線 的傾斜角為 且經(jīng)過點(diǎn) .
(1)以 為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線 的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線 與曲線 交于兩點(diǎn) , ,求 的值.
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【題目】已知拋物線 ,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,過點(diǎn) 的直線交拋物線于 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)如果點(diǎn) 恰是線段 的中點(diǎn),求直線 的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镽
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的值域
(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),①求a的值;②解不等式f(3﹣m)+f(3﹣m2)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某商品在過去的100天內(nèi)的銷售量(單位:件)和價(jià)格(單位:元)均為時(shí)間 (單位:天)的函數(shù),且銷售量滿足=,價(jià)格滿足=.
(1)求該種商品的日銷售額與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系;
(2)若銷售額超過16610元,商家認(rèn)為該商品的收益達(dá)到理想程度,請(qǐng)判斷該商品在哪幾天的收益達(dá)到理想程度?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在整數(shù),使得的解集恰好是,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若與曲線交于不同的兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率;
(3)若是直線上的動(dòng)點(diǎn),過作曲線的兩條切線,切點(diǎn)為,探究:直線是否過定點(diǎn).
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