已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列、滿足
(Ⅰ)當數(shù)列是常數(shù)列(各項都相等的數(shù)列),且時,求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列有無窮多個,而數(shù)列惟一確定;
(Ⅲ)設(shè),,求證:

(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.

解析試題分析:(Ⅰ)由是常數(shù)列,得,進而探求數(shù)列項間的關(guān)系;(Ⅱ)將等差數(shù)列、 的通項公式代入,根據(jù)等式恒成立,求首項和公差;(Ⅲ)利用題中所給關(guān)系式對進行適當放縮,求出上界和下界.
試題解析:
(Ⅰ)因為數(shù)列是常數(shù)列,且,所以①,因此②,①-②得,,這說明數(shù)列的序號為奇數(shù)的項及序號為偶數(shù)的項均按原順序組成公差為2的等差數(shù)列,又,,所以,因此,,即.
(Ⅱ)設(shè)都是公差分別為,將其通項公式代入,因為它是恒等式,所以,解得,因此.
由于可以取無窮多非零的實數(shù),故數(shù)列有無窮多個,而數(shù)列惟一確定;
(Ⅲ)因為,且,所以,即,所以,得,因此.
又由得,,而,所以,因此
,所以,所以.
考點:等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知為等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及其前項和
(Ⅱ)若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知等差數(shù)列的首項,公差.且分別是等比數(shù)列
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)均有成立,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)證明:對一切正整數(shù)n,有+…+

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知正項數(shù)列的首項,前項和滿足
(Ⅰ)求證:為等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前項和為,若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知等差數(shù)列的首項,公差.且分別是等比數(shù)列
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)均有 成立,求  的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列滿足為常數(shù)),成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求p的值及數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足,證明:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知等差數(shù)列的前項和為,且,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列
(1)觀察規(guī)律,寫出數(shù)列的通項公式,它是個什么數(shù)列?
(2)若,設(shè) ,求。
(3)設(shè),為數(shù)列的前項和,求。

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