Question

【題目】已兩動(dòng)圓和，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)，若曲線(xiàn)與軸的正半軸交點(diǎn)為，且曲線(xiàn)上異于點(diǎn)的相異兩點(diǎn)、滿(mǎn)足.

(1)求曲線(xiàn)的方程；

(2)證明直線(xiàn)恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。

【解析】

（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；

（2），設(shè)，，，，根據(jù)直線(xiàn)的斜率不存在和存在，設(shè)出直線(xiàn)方程，根據(jù)條件，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理和直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的求法，即可得到定點(diǎn)；

解：（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有．

由橢圓的定義可知的軌跡是以、為焦點(diǎn)橢圓，且．，

所以曲線(xiàn)的方程是：．

（2）證明：由題意可知：，設(shè)，，，，

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，易知滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)為：，過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程組：，

把②代入①有：，

③，④，

因?yàn)?/span>，所以有即，

，

把③④代入整理：，

（有公因式繼續(xù)化簡(jiǎn)得，或（舍去，

綜上，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．