已知拋物線C:y=ax2(a為非零常數(shù))的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C相切的直線記為L(zhǎng).
(1)求F的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí),點(diǎn)F到直線L的距離最?
分析:(1)把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而可得焦點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)設(shè)P(x0,y0)則y0=ax02,根據(jù)y′=2ax,判斷在P點(diǎn)處拋物線(二次函數(shù))的切線的斜率k=2ax0,進(jìn)而可得切線方程和焦點(diǎn)F到切線L的距離,最后判斷當(dāng)且僅當(dāng)x0=0時(shí)上式取“=”此時(shí)P的坐標(biāo)是(0,0).
解答:解:(1)拋物線方程為x2=
1
a
y,故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,
1
4a
).
(2)設(shè)P(x0,y0)則y0=ax02
∵y′=2ax,∴在P點(diǎn)處拋物線(二次函數(shù))的切線的斜率k=2ax0
∴切線L的方程是:y-y0=k(x-x0),即2ax0x-y-ax02=0
∴焦點(diǎn)F到切線L的距離d=
|0-
1
4a
-
ax
2
0
|
(2ax0)2+(-1)2
1
4|a|

當(dāng)且僅當(dāng)x0=0時(shí)上式取“=”此時(shí)P的坐標(biāo)是(0,0)
∴當(dāng)P在(0,0)處時(shí),焦點(diǎn)F到切線L的距離最。
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的應(yīng)用及拋物線與直線的關(guān)系.考查了學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:y=x2+4x+
2
7
,過(guò)C上一點(diǎn)M,且與M處的切線垂直的直線稱(chēng)為C在點(diǎn)M的法線.
(Ⅰ)若C在點(diǎn)M的法線的斜率為-
1
2
,求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0;
(Ⅱ)設(shè)P(-2,a)為C對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),在C上是否存在點(diǎn),使得C在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P?若有,求出這些點(diǎn),以及C在這些點(diǎn)的法線方程;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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精英家教網(wǎng)已知拋物線C:y=mx2(m>0),焦點(diǎn)為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q,
(1)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3,求此時(shí)m的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:y=2x2上的點(diǎn)A(-1,2),直線l1過(guò)點(diǎn)A且與拋物線相切.直線l2:x=a(a>-1)交拋物線于點(diǎn)B,交直線l1于點(diǎn)D,記△ABD的面積為S1,拋物線和直線l1,l2所圍成的圖形面積為S2,則S1:S2=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:y=ax2(a>0)上的點(diǎn)P(b,1)到焦點(diǎn)的距離為
5
4
,
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)如圖,已知?jiǎng)泳段AB(B在A右邊)在直線l:y=x-2上,且|AB|=
2
,現(xiàn)過(guò)A作C的切線,取左邊的切點(diǎn)M,過(guò)B作C的切線,取右邊的切點(diǎn)為N,當(dāng)MN∥AB,求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)t的值.

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