Question

已知拋物線C：y=2x²上的點(diǎn)A（-1，2），直線l₁過點(diǎn)A且與拋物線相切．直線l₂：x=a（a＞-1）交拋物線于點(diǎn)B，交直線l₁于點(diǎn)D，記△ABD的面積為S₁，拋物線和直線l₁，l₂所圍成的圖形面積為S₂，則S₁：S₂=（　　）

A．2：1

B．3：2

C．4：3

D．隨a的值而變化

Answer 1

分析：先由y=2x²，得y′=4x．當(dāng)x=-1時(shí)，y'=-4．由此能求出l₁的方程．由

y=2x2 x=a

得：B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a²）．由

x=a 4x+y+12=0

得D點(diǎn)坐標(biāo)（a，-4a-2）．點(diǎn)A到直線BD的距離為|a+1|．由此能求出S₁的值．當(dāng)a＞-1時(shí)，S₁=（a+1）³，S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx=

2

3

（a+1）³．可知S₁：S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù)

3

2

．

解答：解：由y=2x²，得y′=4x．當(dāng)x=-1時(shí)，y'=-4．（2分）
∴l(xiāng)₁的方程為y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
由

y=2x2 x=a

得：B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a²）．（4分）
由

x=a 4x+y+12=0

得D點(diǎn)坐標(biāo)（a，-4a-2）．（5分）
∴點(diǎn)A到直線BD的距離為|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
當(dāng)a＞-1時(shí)，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=（

2

3

x³+2x²+2x）

|

a -1

=

2

3

（a+1）³．（9分）
∴S₁：S₂=

3

2

．（11分）
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意雙曲線的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、定積分的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．