已知拋物線C:y=x2+4x+
2
7
,過C上一點(diǎn)M,且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線.
(Ⅰ)若C在點(diǎn)M的法線的斜率為-
1
2
,求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0;
(Ⅱ)設(shè)P(-2,a)為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn),在C上是否存在點(diǎn),使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P?若有,求出這些點(diǎn),以及C在這些點(diǎn)的法線方程;若沒有,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由切線和法線垂直,則其斜率之積等于-1,可得M處的切線的斜率k=2,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合已知即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)M(x0,y0為C上一點(diǎn),分x0=-2和x0≠-2兩種情況討論,結(jié)合題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得到等量關(guān)系(x0+2)2=a,然后再分a>0,a=0,a<0三種情況分析,即可求解.
解答:解:(Ⅰ)由題意知,M處的切線的斜率k=
-1
-
1
2
=2,
∵y′=2x+4,
∴2x0+4=2,解得x0=-1,
將x0=-1代入y=x2+4x+
7
2
中,解得y0=
1
2
,
∴M(-1,
1
2
);
(Ⅱ)設(shè) M(x0,y0為C上一點(diǎn),
①若x0=-2,則C上點(diǎn)M(-2,-
1
2
)處的切線斜率 k=0,過點(diǎn)M(-2,-
1
2
) 的法線方程為x=-2,此法線過點(diǎn)P(-2,a);
②若 x0≠-2,則過點(diǎn) M(x0,y0的法線方程為:y-y0=-
1
2x0+4
(x-x0) ①
若法線過P(-2,a),則 a-y0=-
1
2x0+4
(-2-x0),即(x0+2)2=a  ②
若a>0,則x0=-2±
a
,從而y0=
2a-1
2
,將上式代入①,
化簡(jiǎn)得:x+2
a
y+2-2a
a
=0或x-2
a
y+2+2a
a
=0,
若a=0與x0≠-2矛盾,若a<0,則②式無解.
綜上,當(dāng)a>0時(shí),在C上有三個(gè)點(diǎn)(-2+
a
2a-1
2
),(-2-
a
,
2a-1
2
)及
(-2,-
1
2
),在這三點(diǎn)的法線過點(diǎn)P(-2,a),其方程分別為:
x+2
a
y+2-2a
a
=0,x-2
a
y+2+2a
a
=0,x=-2.
當(dāng)a≤0時(shí),在C上有一個(gè)點(diǎn)(-2,-
1
2
),在這點(diǎn)的法線過點(diǎn)P(-2,a),其方程為:x=-2.
點(diǎn)評(píng):本題通過曲線的切線和法線問題,考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義,同時(shí)綜合運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.
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1
4
,且C上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,并且x1x2=-
1
2
,那么m=
3
2
3
2

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