Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)分別是的邊的中點(diǎn)，連接，現(xiàn)將沿折疊至的位置，連接.記平面與平面的交線為，二面角大小為.

（1）證明： 平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求平面與平面所成銳二面角大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由分別是Δ的邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）由三角形中位線定理以可判定四邊形平行四邊形，進(jìn)而可得四邊形為菱形，于是可得， , ，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）作于交于,可知是的中點(diǎn)，折疊后角是二面角的平面角，可證明等腰的底角是平面與平面所成銳二面角的平面角，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：∵且平面， 平面，

∴平面

∵經(jīng)過的平面與平面的交線為，

∴，

又∵平面且平面，∴平面.

（2）延長(zhǎng)， 相交于，連接

∵，

∴，同理知

∴平面，又由平面，

∴平面平面

（3）過點(diǎn)作于， 交于，易知是的中點(diǎn)，

易知折疊后角是二面角的平面角

∴角，且平面，連接，由（1）知，

則可知平面.

∴，且平面， 平面，易知

∴等腰的底角是平面與平面所成銳二面角的平面角，

易知角.