Question

已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log₂x的圖象交于C、D兩點(diǎn). 

(1)證明: 點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上.

(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

Answer 1

(1)證明略 (2) A(，log₈)

解析:

設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，由題設(shè)知x₁＞1,x₂＞1,點(diǎn)A(x₁,log₈x₁),B(x₂,log₈x₂).

因?yàn)?i>A、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以,又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x₁,log₂x₁）、(x₂,log₂x₂).

由于log₂x₁=3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,則

由此得k_OC=k_OD,即O、C、D在同一直線上 

(2)解:由BC平行于x軸，有l(wèi)og₂x₁=log₈x₂,又log₂x₁=3log₈x₁

∴x₂=x₁³

將其代入,得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁＞1知log₈x₁≠0,故x₁³=3x₁x₂=,于是A(，log₈).