【題目】如圖,在多面體中,四邊形為矩形,,均為等邊三角形,,.
(1)過作截面與線段交于點,使得平面,試確定點的位置,并予以證明;
(2)在(1)的條件下,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)當(dāng)為線段的中點時,使得平面.(2)
【解析】
試題分析:(1) 當(dāng)為線段的中點時,平面.連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN.利用中位線定理即可證明 ,于是平面.
(2)通過線面關(guān)系證得 ,.分別以,,的方向為,,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解即可.
試題解析:(1)當(dāng)為線段的中點時,使得平面.
證法如下:
連接,,設(shè),
∵四邊形為矩形,
∴為的中點,
又∵為的中點,
∴為的中位線,
∴,
∵平面,平面,
∴平面,故為的中點時,使得平面.
(2)過作分別與,交于,,
因為為的中點,所以,分別為,的中點,
∵與均為等邊三角形,且,
∴,連接,,則得,
∵, ,,
∴,,
∴四邊形為等腰梯形.
取的中點,連接,則,
又∵,,,
∴平面,
過點作于,則,
∴ ,.
分別以,,的方向為,,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則由條件可得:,,,,,.
設(shè)是平面的法向量,
則即
所以可取,
由,可得,
∴直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若對于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.
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【題目】在三棱柱中,底面是正三角形,側(cè)棱底面.D,E分別是邊BC,AC的中點,線段與交于點G,且,.
(1)求證:∥平面;
(2)求證:⊥平面;
(3)求二面角的余弦值.
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【題目】對于集合,,,.集合中的元素個數(shù)記為.規(guī)定:若集合滿足,則稱集合具有性質(zhì).
(I)已知集合,,寫出,的值;
(II)已知集合,為等比數(shù)列,,且公比為,證明:具有性質(zhì);
(III)已知均有性質(zhì),且,求的最小值.
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【題目】以下四個命題:①設(shè),則是的充要條件;②已知命題、、滿足“或”真,“或”也真,則“或”假;③若,則使得恒成立的的取值范圍為{或};④將邊長為的正方形沿對角線折起,使得,則三棱錐的體積為.其中真命題的序號為________.
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【題目】給出下列說法:
①方程表示一個圓;
②若,則方程表示焦點在軸上的橢圓;
③已知點,若,則動點的軌跡是雙曲線的右支;
④以過拋物線焦點的弦為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切,
其中正確說法的個數(shù)是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為時,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過點(3,5)并與圓C相切的切線方程.
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【題目】每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南某地區(qū)年10年間梅雨季節(jié)的降雨量單位:的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計總體概率,解答下列問題:
假設(shè)每年的梅雨季節(jié)天氣相互獨立,求該地區(qū)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率.
老李在該地區(qū)承包了20畝土地種植楊梅,他過去種植的甲品種楊梅,平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量畝與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計表所示,又知乙品種楊梅的單位利潤為元,請你幫助老李分析,他來年應(yīng)該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大?并說明理由.
降雨量 | ||||
畝產(chǎn)量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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