Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若，對任意有恒成立，求實數(shù)取值范圍；

（3）設,若，問是否存在實數(shù)使函數(shù)在上的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不存在,理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義域為R且為奇函數(shù)可知, 代入即可求得實數(shù)的值.

（2）由（1）可得函數(shù)的解析式,并判斷出單調(diào)性.根據(jù)將不等式轉(zhuǎn)化為關于的不等式,結(jié)合時不等式恒成立,即可求得實數(shù)取值范圍；

（3）先用表示函數(shù).根據(jù)求得的解析式,根據(jù)單調(diào)性利用換元法求得的值域.結(jié)合對數(shù)的定義域,即可求得的取值范圍.根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷在的取值范圍內(nèi)能否取到最大值0.

（1）函數(shù)的定義域為R,且為奇函數(shù)

所以,即

解得

（2）由（1）可知當時,

因為,即

解不等式可得

所以在R上單調(diào)遞減,且

所以不等式可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減

所不等式可化為

即不等式在恒成立

所以恒成立

化簡可得

由打勾函數(shù)的圖像可知,當時,

所以

（3）不存在實數(shù).理由如下:

因為

代入可得,解得或(舍)

則,

令,易知在R上為單調(diào)遞增函數(shù)

所以當時, ,

則

根據(jù)對數(shù)定義域的要求,所以滿足在上恒成立

即在上恒成立

令,

所以,即

又因為

所以

對于二次函數(shù),開口向上,對稱軸為

因為

所以

所以對稱軸一直位于的左側(cè),即二次函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

所以,

假設存在滿足條件的實數(shù),則:

當時, 由復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，可知為減函數(shù),所以根據(jù)可知,即

解得,所以舍去

當時, 復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知為增函數(shù),所以根據(jù)可知,即

解得,所以舍去

綜上所述,不存在實數(shù)滿足條件成立.