(07年湖南卷理)(12分)
已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).
(I)若動(dòng)點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)的軌跡方程;
(II)在軸上是否存在定點(diǎn),使?為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);
若不存在,請(qǐng)說明理由.
解析:由條件知,,設(shè),.
解法一:(I)設(shè),則則,,
,由得
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即.
又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326145758018.gif' width=40>兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡(jiǎn)得.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,,
于是
.
因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326145803028.gif' width=51>是與無關(guān)的常數(shù),所以,即,此時(shí)=.
當(dāng)與軸垂直時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為,,
此時(shí).
故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).
解法二:(I)同解法一的(I)有
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程是.
(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn),使為常數(shù),
當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I)有,.
以上同解法一的(II).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)(12分)
已知函數(shù),.
(I)設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸,求的值.
(II)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)(12分)
某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇
相互之間沒有影響.
(I)任選1名下崗人員,求該人參加過培訓(xùn)的概率;
(II)任選3名下崗人員,記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù),求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)(13分)
已知()是曲線上的點(diǎn),,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足,,….
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)確定的取值集合,使時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;
(III)證明:當(dāng)時(shí),弦()的斜率隨單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)(13分)
已知()是曲線上的點(diǎn),,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足,,….
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)確定的取值集合,使時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;
(III)證明:當(dāng)時(shí),弦()的斜率隨單調(diào)遞增.
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