Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t.

(t為參數(shù))．直線l與曲線C分別交于M、N．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）首先把曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用一元二次方程判別式求出參數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）直接利用參數(shù)方程中的關(guān)系式|t1-t2|2=|t1t2|求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2ax  （a＞0）
將直線l的參數(shù)方程

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t.

(t為參數(shù))
代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：

1

2

t2-(4

2

+

2

a)t+16+4a=0
因?yàn)榻挥趦牲c(diǎn)，所以△＞0，即a＞0或a＜-4．
（Ⅱ） 設(shè)交點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ，t2 ．則t1+t2=2(4

2

+

2

a)，t1t2=2(16+4a)
若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，則|t1-t2|2=|t1t2|
解得a=1或a=-4（舍）
所以滿足條件的a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，一元二次方程判別式的應(yīng)用，等比中項(xiàng)的應(yīng)用．