Question

已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且BD=2AD，AE=2EC，點(diǎn)P是線段DE上的任意一點(diǎn)，若

AP

=x

AB

+y

AC

，則xy的最大值為（　�。�

• A、

  1

  36

• B、

  1

  18

• C、

  1

  12

• D、

  1

  9

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,平面向量的基本定理及其意義

專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，

AD

=

1

3

AB

，

AE

=

2

3

AC

．由于點(diǎn)P是線段DE上的任意一點(diǎn)，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)k使得

AP

=k

AD

+(1-k)

AE

=k•

1

3

AB

+

2(1-k)

3

AC

，與

AP

=x

AB

+y

AC

比較可得2x+y=

2

3

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，

AD

=

1

3

AB

，

AE

=

2

3

AC

．
∵點(diǎn)P是線段DE上的任意一點(diǎn)，
∴存在實(shí)數(shù)k使得

AP

=k

AD

+(1-k)

AE

=k•

1

3

AB

+

2(1-k)

3

AC

，
與

AP

=x

AB

+y

AC

比較可得：

x= 1 3 k y= 2(1-k) 3

，
∴2x+y=

2

3

，
∴

2

3

≥2

2xy

，
化為xy≤

1

18

，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=

1

3

時(shí)取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．