Question

2013年4月20日8點(diǎn)02分四川省雅安市蘆山縣（北緯30.3度，東經(jīng)103.0度）
發(fā)生7.0級地震，此次地震中，受災(zāi)面積大，傷亡慘重，醫(yī)療隊(duì)到達(dá)后，都會選擇一個(gè)合理的位置，使傷員能在最短的時(shí)間內(nèi)得到救治．醫(yī)療隊(duì)首先到達(dá)O點(diǎn)，設(shè)有四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個(gè)矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，為了救災(zāi)及災(zāi)后實(shí)際重建需要．需要修建三條小路OE、EF和OF，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，AB=50千米，BC=25

3

千米且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每千米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）要將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來表示，而OE，OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．
（2）要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]．利用換元，設(shè)sinα+cosα=t，則sinαcosα=

t2-1

2

，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．

解答： 解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=

25

cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=

25

sinα

．
又∠EOF=90°，
∴EF=

OE2+OF2

=

25

cosαsinα

，
∴l(xiāng)=OE+OF+EF=

25

cosα

+

25

sinα

+

25

cosαsinα

=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，這時(shí)角α最小，求得此時(shí)α=

π

6

；
當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角α最大，求得此時(shí)α=

π

3

．
故此函數(shù)的定義域?yàn)閇

π

6

，

π

3

]．
（2）由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．
由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]．
設(shè)sinα+cosα=t，則sinαcosα=

t2-1

2

，
∴l(xiāng)=

25(t+1)

t2-1 2

=

50

t-1

由t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
又

5π

12

≤α+

π

4

≤

7π

12

，得

3 +1

2

≤t≤

2

，
∴

2

+1≤

1

t-1

≤

3

+1，
∴α=

π

4

，即BE=25時(shí)，l_min=50（

2

+1），
∴當(dāng)BE=AF=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為20000（

2

+1）元．

點(diǎn)評：本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，及推理運(yùn)算的能力．