Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，點P、M、N分別為BC₁、CC₁、AB₁的中點．
（1）求證：PN∥平面ABC；
（2）求證：A₁M⊥AB₁C₁；
（3）求點M到平面AA₁B₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明PN∥平面ABC，利用線面平行的判定，只需證明PN∥AC；
（2）證明A₁M⊥AB₁C₁，只需證明AC₁⊥A₁M，B₁C₁⊥A₁M；
（3）利用VM-AA1B1=VB1-MAA1，可求點M到平面AA₁B₁的距離，

解答： （1）證明：連結CB₁，
∵P是BC₁的中點，∴CB₁過點P，--（1分）
∵N為AB₁的中點，∴PN∥AC，---------------------------（2分）
∵AC?面ABC，PN?面ABC，
∴PN∥平面ABC．--------------------------------------（4分）
（2）證法一：連結AC₁，在直角△ABC中，
∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=

3

-----------------------------------（5分）
∵

CC1

A1C1

=

A1C1

MC1

=

2

，
∴Rt△A₁C₁M～Rt△C₁CA--------------------------------------------------------（7分）
∴∠A₁MC₁=∠CAC₁，∴∠AC₁C+∠CAC₁=∠AC₁C+∠A₁MC₁=90°
∴AC₁⊥A₁M．-------------------------------------------------------------------（8分）
∵B₁C₁⊥C₁A₁，CC₁⊥B₁C₁，且C₁A₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁，-----------------------------------------------------------（9分）
∴B₁C₁⊥A₁M，又AC₁∩B₁C₁=C₁，故A₁M⊥平面A B₁C₁，-------------------------（11分）
證法二：連結AC₁，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=

3

-------------------------------------------------------------（5分）
設∠AC₁A₁=α，∠MA₁C₁=β
∵tanαtanβ=

AA1

A1C1

•

MC1

A1C1

=

6

3

•

2

2

=1，------------------------------------------（7分）
∴α+β=90°  即AC₁⊥A₁M．-------------------------------------------------------（8分）
∵B₁C₁⊥C₁A₁，CC₁⊥B₁C₁，且C₁A₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁，-----------------------------------------------------------（9分）
∴B₁C₁⊥A₁M，又AC₁∩B₁C₁=C₁
故A₁M⊥面A B₁C₁，------------------------------------------------------------（11分）】
（3）設點M到平面AA₁B₁的距離為h，
由（2）知B₁C₁⊥平面AA₁CC₁
∵VM-AA1B1=VB1-MAA1------------------------------------------------------------（12分）
∴S△AA1B1•h=S△MAA1•B1C1
∴h=

S△MAA1•B1C1

S△AA1B1

=

1 2 × 3 × 6 ×1

1 2 ×2× 6

=

3

2

．
即點M到平面AA₁B₁的距離為

3

2

．----------------------------------------------（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查點M到平面AA₁B₁的距離，用好等體積是關鍵．