如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐B-ACD,點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn),DM=3
2

(Ⅰ)求證:OM平面ABD;
(Ⅱ)求證:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱錐M-ABD的體積.
(Ⅰ)證明:因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),
所以O(shè)是AC的中點(diǎn).又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn),
所以O(shè)M是△ABC的中位線,OMAB.…(2分)
因?yàn)镺M?平面ABD,AB?平面ABD,
所以O(shè)M平面ABD.…(4分)
(Ⅱ)證明:由題意,OM=OD=3,
因?yàn)?span >DM=3
2
,所以∠DOM=90°,OD⊥OM.…(6分)
又因?yàn)榱庑蜛BCD,所以O(shè)D⊥AC.…(7分)
因?yàn)镺M∩AC=O,
所以O(shè)D⊥平面ABC,…(8分)
因?yàn)镺D?平面MDO,
所以平面ABC⊥平面MDO.…(9分)
(Ⅲ)三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積.…(10分)
由(Ⅱ)知,OD⊥平面ABC,
所以O(shè)D=3為三棱錐D-ABM的高.…(11分)
△ABM的面積為
1
2
BA×BM×sin120°=
1
2
×6×3×
3
2
=
9
3
2
,…(12分)
所求體積等于
1
3
×S△ABM×OD=
9
3
2
.…(13分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,M是圓周上異于A、B的任意一點(diǎn),AN⊥PM,點(diǎn)N為垂足,求證:AN⊥平面PBM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓周上的一點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求三棱錐P-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2
2
,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E、F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),EF與BD相交于G.
(1)求證:平面EFB1⊥平面BDD1B1;
(2)求點(diǎn)B到平面B1EF的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知平面α,β,γ,且平面α平面β,平面α⊥平面γ;
求證:平面β⊥平面γ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.
(1)求證:平面PBC丄平面PAC
(2)已知PA=1,AB=2,當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時(shí),求BC的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直,M,Q分別為PC,AD的中點(diǎn),
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)求證:PA平面MBD;
(3)試問:在線段AB上是否存在一點(diǎn)N,使得平面PCN⊥平面PQB?若存在,試指出點(diǎn)N的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在面ABC上的射影H必在(  )
A.直線AB上B.直線BC上C.直線CA上D.△ABC內(nèi)部

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

的圓心到直線的距離    .

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