求所有的正整數(shù),使得是一個完全平方數(shù),且除了2或3以外,沒有其他的質(zhì)因數(shù).
符合條件的值有6個,分別為64,108,288,864,1728,10368.
設(shè),其中,則.
依題意,可設(shè)其中均為非負(fù)整數(shù),于是
                  (1)…………………………5分
如果,則,這是不可能的.所以中至少有一個大于0,于是均為偶數(shù),從而均為正整數(shù).
,則,顯然只可能(否則左右兩邊被4除的余數(shù)不相同),此時,顯然只能是,此時.
…………………………10分
,則是4的倍數(shù),從而也是4的倍數(shù),故,此時
                                       (2)
顯然中至少有一個應(yīng)為0(否則(2)式左右兩邊奇偶性不相同).
1)當(dāng),即時,                    (3)
此時(否則等式左右兩邊奇偶性不相同),故.
,則(3)式左邊是9的倍數(shù),而右邊為3,矛盾,故只可能,從而(3)式即,它只有兩組解此時,對應(yīng)的值分別為24和96,相應(yīng)的值分別為864和10368. …………………15分
2)當(dāng),即時,                    (4)
此時顯然(否則等式左右兩邊奇偶性不相同),故.
,則(4)式左邊是9的倍數(shù),而右邊是3,無解.故.
,則,只可能,此時.
,則(4)式即,它只有兩組解此時,對應(yīng)的值分別為12和36,相應(yīng)的值分別為288和1728.
因此,符合條件的值有6個,分別為64,108,288,864,1728,10368.
…………………………20分
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