Question

某市為考核一學(xué)校質(zhì)量，對(duì)該校甲、乙兩班各50人進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，根據(jù)這兩班的成績(jī)繪制莖葉圖如圖1：
（1）求甲、乙兩班成績(jī)的中位數(shù)，并將甲乙兩班數(shù)據(jù)合在一起，繪出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；
（2）根據(jù)抽樣測(cè)驗(yàn)，從成績(jī)的個(gè)位數(shù)為2的同學(xué)中任選4人，設(shè)這4人中有ξ人來(lái)自甲班，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望值；
（3）根據(jù)莖葉圖2分析甲、乙兩班成績(jī)的特點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用莖葉圖能求出甲、乙兩班成績(jī)的中位數(shù)，并能繪出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．
（2）教學(xué)成績(jī)個(gè)位數(shù)為2的同學(xué)甲班有6人，乙班有4人，故ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和期望值
（3）甲班成績(jī)低于乙班成績(jī)，但全班成績(jī)較集中，乙班成績(jī)高于甲班，但學(xué)生間差異較大．

解答： 解：（1）甲班50位學(xué)生成績(jī)由小到大排序，
排在第25，26位的數(shù)為72和73，
故甲班成績(jī)的中位數(shù)為：

72+73

2

=72.5，
乙班50位學(xué)生的成績(jī)由小到大排序，
排在第25，26位的數(shù)是78和78，
故乙班學(xué)生的中位數(shù)為：

78+78

2

=78．
[50，60）上的頻數(shù)為5，[60，70）上的頻數(shù)為20，
[70，80）上的頻數(shù)為45，[80，90）上的頻數(shù)為25，
[90，100）上的頻數(shù)為5，
由此作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，如右圖所示．
（2）教學(xué)成績(jī)個(gè)位數(shù)為2的同學(xué)甲班有6人，乙班有4人，
故ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 4

C 4 10

=

1

210

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 3 4

C 4 10

=

4

35

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 2 4

C 4 100

=

3

7

，
P（ξ=3）=

C 3 6 C 1 4

C 4 10

=

8

21

，
P（ξ=4）=

C 4 6

C 4 10

=

1

14

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 210	4 35	3 7	8 21	1 14

Eξ=0×

1

210

+1×

4

35

+2×

3

7

+4×

1

14

=

12

5

．
（3）甲班中位數(shù)低于乙班中位數(shù)，且從莖葉圖可大致看出，
甲班的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙班，
說(shuō)明甲班成績(jī)低于乙班成績(jī)，但全班成績(jī)較集中，乙班成績(jī)高于甲班，但學(xué)生間差異較大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一