Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）如果不等式對于一切的恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：不等式對于一切的恒成立．

Answer 1

【答案】（1）(2)（3）見解析

【解析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)，，用點(diǎn)斜式寫出切線方程。

（2）分離變量，，構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值

（3）構(gòu)建函數(shù)，證明的最小值大于0.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，故，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；

（2）因?yàn)?/span>，所以恒成立，等價(jià)于恒成立.

設(shè)，得，

當(dāng)時(shí)，，所以　在上單調(diào)遞減，

所以　時(shí)，.

因?yàn)?/span> 恒成立，所以的取值范圍是；

（3）當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于.

設(shè)，，得.

由（2）可知，時(shí)，恒成立.

所以時(shí)，，有，所以.

所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.

因此當(dāng)時(shí)，恒成立

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求在某點(diǎn)切線方程利用，即可。

（2）已知不等式的恒成立，求解參數(shù)的取值范圍，分離變量，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

（3）證明不等式恒成立問題，構(gòu)建函數(shù)，證明的最小值大于0.