Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間

（2）當時，求函數(shù)在上的最大值

（3）當時，又設函數(shù)，求證：當，且時，

Answer 1

【答案】(1) 單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，。(2) .(3)證明見解析

【解析】

（1）當時，求得導數(shù)則，進而可求得函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）求得導數(shù)，令，利用導數(shù)求得的單調性，轉化為，再令，求得的單調性與最值，即可求解.

（3）把當，且時，，轉化為證明不等式，設，，令利用求得函數(shù)的單調性，得到，即可作出證明.

（1）由題意，當時，函數(shù)，

則，

令，得，，

當時，，函數(shù)單調遞減；

當和時，，函數(shù)單調遞減；

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.

（2）由函數(shù)

則，

令得，，

令，則，所以在上遞增，

所以，從而，所以，

所以當時，，函數(shù)單調遞減；

當時，，函數(shù)單調遞增；

所以，

令，則，

令，則，所以在上遞減，

而，

所以存在使得，且當時，，

當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

又因為，，

所以在上恒成立，則，.

綜上所述，函數(shù)在上最大值.

（3）當時，，

因為，所以，

若證當，且時，.

即證

，

即證，即證，

設，，令

則，因為恒成立，故，

即，即.