Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)存在極大值，且極大值為1，證明：.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【試題分析】(1)當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2) 由（Ⅰ）可知若函數(shù)存在極大值，則，且，解得， 由此求得函數(shù)的表達(dá)式.將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證.構(gòu)造函數(shù),利用二階導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值大于或等于零.

【試題解析】

（Ⅰ）由題意，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函數(shù)存在極大值，則，且，解得， 故此時(shí)，

要證，只須證，及證即可，

設(shè)，．

，令

，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

又，，

故在上存在唯一零點(diǎn)，即．

所以當(dāng)，， 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，

所以只須證即可，

由，得，

所以，又，所以只要即可，

當(dāng)時(shí)，

所以 與矛盾，

故，得證．

（另證）

當(dāng)時(shí)，

所以 與矛盾；

當(dāng)時(shí)，

所以 與矛盾；

當(dāng)時(shí)，

得，故 成立，

得，所以，即．