Question

【題目】已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線.

（1）過直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.

（2）過點(diǎn)的直線分別與圓交于點(diǎn)（不與重合），若，試問直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）過定點(diǎn)，理由見解析

【解析】

（1）由，得過點(diǎn)的切線長(zhǎng)，所以四邊形的面積為，即可得到本題答案；

（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.

聯(lián)立方程，消去，整理得，

得，，

所以，令，即可得到本題答案.

（1）由題意可得圓心到直線的距離為，從而，

則過點(diǎn)的切線長(zhǎng).

故四邊形的面積為，即四邊形面積的最小值為12.

（2）因?yàn)?/span>，所以直線與直線的斜率都存在，且不為0.

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.

聯(lián)立方程，消去，整理得

解得或，則.

同理可得.

所以.

令，得，解得.

取，可以證得，所以直線過定點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，軸，易知與均為正三角形，直線的方程為，也過定點(diǎn).

綜上，直線過定點(diǎn).