Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：

Answer 1

【答案】（1） （2）a≤2．（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于該點處導(dǎo)數(shù)值，再利用點斜式求切線方程，（2）先按單調(diào)遞增與單調(diào)遞減分類討論，再將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)值恒非負或非正，利用變量分離轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值，進而確定實數(shù)的取值范圍；（3）利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列求和不等式，一般方法為先構(gòu)造目標函數(shù)（利用前面小題的結(jié)論），再代入數(shù)列，利用裂項相消法放縮求和，進而得證不等式.

試題解析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1處的切線方程為：y=x

（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．

（i）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減時，

即a≥lnx+時，令g（x）=lnx+，

當(dāng)x＞ea時，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時，a≤lnx+；

令g（x）=lnx+，

則g′（x）=，x＞0；

則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

所以g（x）≥2，故a≤2．

（3）由（ii）得當(dāng)a=2時f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞在（1，+∞）上總成立，

令x=得ln＞，

化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞，

所以ln2﹣ln1＞，

ln3﹣ln2＞，…，

ln（n+1）﹣lnn＞，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞，

即命題得證．