【題目】已知函數(shù)的極小值為.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(2)詳見解析
【解析】
(1)先由函數(shù)的極小值為,求出,利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可;
(2)不等式恒成立問題,通常采用最值法,方法一,令,可以證明,方法二,要證,即證,再構(gòu)造函數(shù)證明即可得解.
(1)由題得的定義域?yàn)?/span>,
,
令,解得,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)方法一:要證,即證,
令,則,
當(dāng)時,單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減.
所以.
由題知.
因?yàn)?/span>,
所以,即.
方法二:由(1)知.
解得,要證,即證.
當(dāng)時,易知.
令,則.
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增.
所以,即.
令,則,
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,
所以,即,
所以,
則當(dāng)時,
,
所以.
綜上,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若對于定義在上的函數(shù),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)都成立,則稱是一個“特征函數(shù)”.下列結(jié)論中正確的個數(shù)為( 。
①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”;
②不是“特征函數(shù)”;
③“特征函數(shù)”至少有一個零點(diǎn);
④是一個“特征函數(shù)”.
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
(1)命題“若、都是奇數(shù),則是偶數(shù)”的否命題是“若、都不是奇數(shù),則不是偶數(shù)”;
(2)命題“如果,那么”是真命題;
(3)“或”是“”的必要不充分條件.
那么其中正確的說法有( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黃金分割起源于公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,公元前世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題,公元前年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果,進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割,成為最早的有關(guān)黃金分割的論著.黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,其比值為,把稱為黃金分割數(shù). 已知雙曲線的實(shí)軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù),則的值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知直線的參數(shù)方程是 (m>0,t為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與軸交于點(diǎn),與曲線交于點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若不等式至少有一個負(fù)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)每年暑假舉行“學(xué)科思維講座”活動,每場講座結(jié)束時,所有聽講者都要填寫一份問卷調(diào)查.2017年暑假某一天五場講座收到的問卷分?jǐn)?shù)情況如下表:
用分層抽樣的方法從這一天的所有問卷中抽取300份進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
(1)估計(jì)這次講座活動的總體滿意率;
(2)求聽數(shù)學(xué)講座的甲某的調(diào)查問卷被選中的概率;
(3)若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的人中再隨機(jī)選出5人進(jìn)行家訪,求這5人中選擇的是理綜講座的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側(cè)墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元,求:
(1)倉庫頂部面積的最大允許值是多少?
(2)為使達(dá)到最大,而實(shí)際投資又不超過預(yù)算,那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長?
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