【題目】若對于定義在上的函數(shù),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立,則稱是一個“特征函數(shù)”.下列結(jié)論中正確的個數(shù)為( 。
①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”;
②不是“特征函數(shù)”;
③“特征函數(shù)”至少有一個零點;
④是一個“特征函數(shù)”.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
利用新定義“特征函數(shù)”,對選項逐個進行判定,即可求解,得到答案.
對于①中,設,當時,函數(shù)是一個“特征函數(shù)”,
所以不是唯一的一個常值的“特征函數(shù)”,所以①不正確;
對于②中,函數(shù),
則,即,
當時,,
當時,方程由唯一的解,
所以不存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立,
所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”,所以②正確.
對于③中,令,可得,所以,
若,顯然有實數(shù)根,若,,
又因為的函數(shù)圖象是連續(xù)的,所以在上必由實數(shù)根,
因此任意的“特征函數(shù)”必有實根,即任意“特征函數(shù)”至少有一個零點,
所以③是正確;
對于④中,假設是一個“特征函數(shù)”,則對任意的實數(shù)成立,
則有,而此式有解,所以是“特征函數(shù)”,所以④正確的,
所以正確命題共有②③④.
故選:C.
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【題目】設x3+ax+b=0,其中a,b均為實數(shù),下列條件中,使得該三次方程中僅有一個實根的是 ,(寫出所有正確條件的編號)
1、a=-3,b=-3;2.a=-3,b=2;3、a=-3,b2;4、a=0,b=2;5、a=1,b=2
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【題目】(選修4﹣1:幾何證明選講)
如圖,直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設圓的半徑為1,BC= ,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑.
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【題目】若函數(shù)f(x)在其圖像上存在不同的兩點A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐標滿足條件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值為0,則稱f(x)為“柯西函數(shù)”, 則下列函數(shù):
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知函數(shù)發(fā)f(x)=(x+1)lnx﹣ax+2.
(1)當a=1時,求在x=1處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在定義域上具有單調(diào)性,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證: ,n∈N* .
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,△PAD為正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E為棱PB的中點 (Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若直線PC與平面PAD所成角為45°,求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.
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【題目】如圖莖葉圖記錄了甲,乙兩班各六名同學一周的課外閱讀時間(單位:小時),已知甲班數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13,乙班數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,那么x的位置應填;y的位置應填 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+b)+ex﹣1(a≠0).
(1)當a=﹣1,b=1時,判斷函數(shù)f(x)的零點個數(shù);
(2)若f(x)≤ex﹣1+x+1,求ab的最大值.
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