【題目】如圖,在三棱錐D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC點,F(xiàn)棱AC上,且AF=3FC.
(1)求三棱錐D﹣ABC的體積;
(2)求證:AC⊥平面DEF;
(3)若M為DB中點,N在棱AC上,且CN= CA,求證:MN∥平面DEF.
【答案】
(1)解:∵△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,
∴三棱錐D﹣ABC的體積V= =
(2)證明:取AC的中點H,∵AB=BC,∴BH⊥AC.
∵AF=3FC,∴F為CH的中點.
∵E為BC的中點,∴EF∥BH.則EF⊥AC.
∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC.
∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF
(3)解:連CM,設(shè)CM∩DE=O,連OF.
由條件知,O為△BCD的重心,CO= CM.
當CN= CA時,CF= CN,∴MN∥OF.
∵MN平面DEF,OF平面DEF,
∴MN∥平面DEF.
【解析】(1)直接利用體積公式,求三棱錐D﹣ABC的體積;(2)要證AC⊥平面DEF,先證AC⊥DE,再證AC⊥EF,即可.(3)M為BD的中點,連CM,設(shè)CM∩DE=O,連OF,只要MN∥OF即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解構(gòu)成空間幾何體的基本元素的相關(guān)知識,掌握點、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素,以及對直線與平面平行的判定的理解,了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求的極值;
(Ⅱ)當時,討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對于任意的都有,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=2sin(2x+ )的圖象,只需把函數(shù)y=2sinx的圖象( )
A.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)
B.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍(縱坐標不變)
C.各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,再把所得圖象向左平移 個單位長度
D.各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍,再把所得圖象向左平移 個單位長度
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求證: ;
(2)設(shè)函數(shù) ,且有兩個不同的零點 ,
①求實數(shù)的取值范圍; ②求證: .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}是等差數(shù)列,數(shù)列{an}的前n項和為Sn , {bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b2=7,S2+b2=6 (Ⅰ)求{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若x,y滿足約束條件 ,且向量 =(3,2), =(x,y),則 的取值范圍( )
A.[ ,5]
B.[ ,5]
C.[ ,4]
D.[ ,4]
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的右焦點在直線: 上,且橢圓上任意兩個關(guān)于原點對稱的點與橢圓上任意一點的連線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線經(jīng)過點,且與橢圓有兩個交點, ,是否存在直線: (其中)使得, 到的距離, 滿足恒成立?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;命題q:函數(shù)y= 的定義域是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),則( )
A.“p或q”為假
B.“p且q”為真
C.p真q假
D.p假q真
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com