Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且兩焦點(diǎn)的距離為，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，根據(jù)題意可得、，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意可知，直線不能與軸垂直，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由，得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理求出實(shí)數(shù)的值，即可得出直線的方程.

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，

由題意可得，解得，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意可知，直線不能與軸垂直，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，

消去并整理得，

由，解得或.

由韋達(dá)定理得，，

，則，且，同理，

，解得，滿足.

綜上所述，直線的方程為或.