【題目】設(shè)函數(shù),,,.
(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義在在證明:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
(2)若對任意滿足的實數(shù),都有成立,求證:.
【答案】詳見解析
【解析】
(1)利用單調(diào)性的定義,在區(qū)間(0,1上任取,且,判斷和0的大小即可,同理可證在1,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)由結(jié)合條件可得,令,可得在上恒成立,令,,利用一次函數(shù)單調(diào)性求解即可.
證明: (1)在區(qū)間(0,1上任取,且,則有
∵,且,∴
所以
即在區(qū)間(0,1上是減函數(shù).
同理可證在1,+∞)上單調(diào)遞增
(2)∵ ,即,又因為,
∴ ,即.
令,由(1)可得,即,
即在上恒成立
法1:令,
因為,所以h(t)是關(guān)于t的一次函數(shù)
所以,要想恒成立
必須,又
所以
法2:
又,所以
所以
又,所以
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
=,=-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)需要建造一個容積為8立方米,深度為2米的無蓋長方體水池,已知池壁的造價為每平方米100元,池底造價為每平方米300元,設(shè)水池底面一邊長為米,水池總造價為元,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出水池的最低造價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查每天人們使用手機(jī)的時間,我校某課外興趣小組在天府廣場隨機(jī)采訪男性、女性用戶各50 名,其中每天玩手機(jī)超過6小時的用戶列為“手機(jī)控”,否則稱其為“非手機(jī)控”,調(diào)查結(jié)果如下:
手機(jī)控 | 非手機(jī)控 | 合計 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人,求所抽取5人中“手機(jī)控”和“非手機(jī)控”的人數(shù);
(3)從(2)中抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人,記這3人中“手機(jī)控”的人數(shù)為X,試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. 參考公式: .
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.456[ | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位,再把所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),得函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)圖象的一個對稱中心為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,直線的極坐標(biāo)方程為
(1)當(dāng)時,判斷直線與圓的關(guān)系;
(2)當(dāng)上有且只有一點到直線的距離等于時,求上到直線距離為的點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,,均在圓上.
(1)求圓的方程;
(2)若直線與圓相交于、兩點,求的長;
(3)設(shè)過點的直線與圓相交于、兩點,試問:是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法錯誤的是( )
A. 無論點在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是
B. 無論點在上怎么移動,都有
C. 當(dāng)點移動至中點時,才有與與相交于一點,記為點,且
D. 當(dāng)點移動至中點時,直線與平面所成角最大且為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標(biāo)為(1,0).且點C與點D在函數(shù)f(x)= 的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,則該點取自空白部分的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
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