Question

【題目】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底）。

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間的，，且，使，證明：；

（Ⅲ）對于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的分界線。試探究當時，函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出，的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論首先確定的范圍，然后結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的不等式；

(Ⅲ)首先求得函數(shù)的最小值，然后結(jié)合題意猜出k,e的值并進行證明即可.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

且

當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ），由（1）知，

又，，所以，

∴，即，

所以．

（Ⅲ）設(shè)，

則

則當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

∴是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，

∴．

∴函數(shù)與的圖象在處有公共點．

設(shè)與存在“分界線”且方程為，

令函數(shù)

①由，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，即，

∴，故．

②下面說明：，即恒成立．

設(shè)，則

∵當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴當時，取得最大值0，．

∴成立．

綜合①②知，且，

故函數(shù)與存在“分界線”，

此時，．