【題目】如圖,已知動直線l過點 ,且與圓O:x2+y2=1交于A、B兩點.
(1)若直線l的斜率為 ,求△OAB的面積;
(2)若直線l的斜率為0,點C是圓O上任意一點,求CA2+CB2的取值范圍;
(3)是否存在一個定點Q(不同于點P),對于任意不與y軸重合的直線l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:因為直線l的斜率為 ,所以直線l

則點O到直線l的距離 ,

所以弦AB的長度 ,

所以


(2)解:因為直線l的斜率為0,所以可知 、

設(shè)點C(x,y),則x2+y2=1,

,

所以CA2+CB2=4﹣2y,又y∈[﹣1,1],

所以CA2+CB2的取值范圍是[2,6]


(3)解:法一:若存在,則根據(jù)對稱性可知,定點Q在y軸上,設(shè)Q(0,t)、又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

因直線l不與y軸重合,設(shè)直線l ,

代入圓O得

所以 (*)

若PQ平分∠AQB,則根據(jù)角平分線的定義,AQ與BQ的斜率互為相反數(shù)

,又 , ,

化簡可得 ,

代入(*)式得 ,因為直線l任意,故 ,

即t=2,即Q(0,2)

解法二:若存在,則根據(jù)對稱性可知,定點Q在y軸上,設(shè)Q(0,t)、又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

因直線l不與y軸重合,設(shè)直線l ,

代入圓O得 ,

所以 (*)

若PQ平分∠AQB,則根據(jù)角平分線的幾何意義,點A到y(tǒng)軸的距離d1,點B到y(tǒng)軸的距離d2滿足 ,即 ,

化簡可得

代入(*)式得 ,因為直線l任意,故 ,

即t=2,即Q(0,2)


【解析】(1)因為直線l的斜率為 ,所以直線l ,利用弦長、半徑、弦心距的關(guān)系,求得弦長及△OAB的高,即可求出面積.(2)因為直線l的斜率為0,所以可知 、 ,設(shè)點C(x,y),則x2+y2=1,又 =4﹣2y,又y∈[﹣1,1],即可得CA2+CB2的取值范圍.(3)法一:若存在,則根據(jù)對稱性可知,定點Q在y軸上,設(shè)Q(0,t)、又設(shè)A(x1 , y1)、B(x2 , y2),因直線l不與y軸重合,設(shè)直線l ,代入圓O得 ,所以 (*)由AQ與BQ的斜率互為相反數(shù),可得 ,即求得t;解法二:若PQ平分∠AQB,則根據(jù)角平分線的幾何意義,點A到y(tǒng)軸的距離d1 , 點B到y(tǒng)軸的距離d2滿足 ,即 ,化簡可得 ,同時求得t.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】甲、乙兩所學(xué)校高三年級分別有1 200人,1 000人,為了了解兩所學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)六校聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績情況,采用分層抽樣方法從兩所學(xué)校一共抽取了110名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下:

甲校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

3

4

8

15

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

15

x

3

2

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

1

2

8

9

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

10

10

y

3

x,y的值分別為( )

(A)、12,7 (B)、 10,7 (C)、 10,8 (D)、 11,9

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(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)從評分在[40,60)的師生中,隨機抽取2人,求此人中恰好有1人評分在[40,50)上的概率;
(3)學(xué)校規(guī)定:師生對食堂服務(wù)質(zhì)量的評分不得低于75分,否則將進(jìn)行內(nèi)部整頓,試用組中數(shù)據(jù)估計該校師生對食堂服務(wù)質(zhì)量評分的平均分,并據(jù)此回答食堂是否需要進(jìn)行內(nèi)部整頓.

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【題目】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次,記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為x,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為y.
(1)求事件“x+y≤3”的概率;
(2)求事件“|x﹣y|=2”的概率.

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