Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，試證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，然后分情況討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理討論零點(diǎn)所在的區(qū)間，構(gòu)造，判斷在的單調(diào)性，得到,，再根據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明

（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，

時(shí)，恒成立，故的解集為．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根：-1，．

當(dāng)時(shí)，，令，解得．

故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，令，解得．

故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，恒成立，為上的增函數(shù)．

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

故．

又，．

由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，．

令，有．

．

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以．

即，又，所以．

，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．

所以．