Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，從而轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用確定函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性，從而畫出簡(jiǎn)圖，判斷出所求范圍；（Ⅱ）首先根據(jù)隱含條件消元，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，從而構(gòu)造函數(shù)，建立函數(shù)模型，再通過分類討論該函數(shù)的單調(diào)性，確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ），由得，

依題意，該方程有兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)根，記，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在處取得最小值，所以的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，且，所以，，所以，

因此恒成立，即恒成立，

即，設(shè)，即在上恒成立，

從而，記，， ，

① 當(dāng)時(shí)，，所以，從而，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，恒成立；

② 時(shí)，等價(jià)于，，

所以有兩根，且，可以不妨設(shè)，

在時(shí)成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上不恒成立，

綜上，的取值范圍是.