Question

已知f(x)=logsinθx，θ∈(0，

π

2

)，設(shè)a=f(

sinθ+cosθ

2

)，b=f(

sinθ•cosθ

)，c=f(

sin2θ

sinθ+cosθ

)，那么a、b、c的大小關(guān)系是

a≤b≤c

．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)a為logsinθ

sinθ+cosθ

2

，b為logsinθ

sinθcosθ

，c為logsinθ

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

，利用基本不等式可得 

sinθ+cosθ

2

≥

sinθcosθ

，用比較法可得

sinθcosθ

≥

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．再由函數(shù)y=log_sinθx是單調(diào)減函數(shù)可得a、b、c的大小關(guān)系．

解答：解：由題意可得a=f(

sinθ+cosθ

2

)=logsinθ

sinθ+cosθ

2

，
b=f(

sinθ•cosθ

)=logsinθ

sinθcosθ

，
c=f(

sin2θ

sinθ+cosθ

)=logsinθ

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．
∵θ∈（ 0，

π

2

），∴1＞sinθ＞0，1＞cosθ＞0，∴

sinθ+cosθ

2

≥

sinθcosθ

，
∴logsinθ

sinθ+cosθ

2

≤logsinθ

sinθcosθ

，即 a≤b．
∵(

sinθcosθ

)2-(

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

)2=sinθcosθ-

4sin2θcos2θ

1+2sinθcosθ

=

sinθcosθ +2sin2θcos2θ-4sin2θcos2θ

1+2sinθcosθ

=

sinθcosθ -2sin2θcos2θ

1+2sinθcosθ

 
=

sinθcosθ(1 -2sinθcosθ)

1+2sinθcosθ

=

sinθcosθ(sinθ-cosθ)2

1+2sinθcosθ

≥0，
∴

sinθcosθ

≥

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．
綜上可得 

sinθ+cosθ

2

≥

sinθcosθ

≥

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．再由函數(shù)y=log_sinθx是單調(diào)減函數(shù)可得，
a≤b≤c，
故答案為a≤b≤c．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，屬于中檔題．