Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）雙曲線C的右焦點(diǎn)F，是否存在實數(shù)k，使得以AF⊥BF？若存在，求出k的值．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，由題意知 k²-2≠0，△=（2k）²-8（k²-2）＞0，由此可知實數(shù)k的取值范圍．
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由題意 AF⊥BF為（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0利用韋達(dá)定理列出關(guān)于k的方程，可求出k的值．

解答：解：（1）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．…①（2分）
依題意，直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)，則
k²-2≠0，△=（2k）²-8（k²-2）＞0，
解得k的取值范圍為-2＜k＜2．（4分）
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則由①得
x1+x2=

2k

2-k2

，x1•x2=

2

k2-2

．…②（6分）
假設(shè)存在實數(shù)k，使得以AF⊥BF得（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．                      （7分）
既（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．…③（8分）
把②式及c=

6

2

代入③式化簡得5k2+2

6

k-6=0．
解得k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

（10分）
存在實數(shù)k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

，使得以AF⊥BF

點(diǎn)評：本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，及其綜合應(yīng)用能力．