（1）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6．求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B．求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6，根據(jù)橢圓的定義，可得方程，從而可求橢圓C的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1，利用直線l與雙曲線C右支交于不同兩點，可得不等式，即可求實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6，
∴2a=6，
c
a
=
6
3
，解得a=3，c=
6
，
∴b2=a2-c2=3
故橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
3
=1；
（2）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得（k2-2）x2+2kx+2=0．
依題意，直線l與雙曲線C右支交于不同兩點，則
k2-2≠0，△=（2k）2-8（k2-2）＞0，-
2k
k2-2
＞0，
2
k2-2
＞0
解得k的取值范圍為-2＜k＜-
2
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=
1
4
x2的焦點，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2=-10．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右準線l的方程為x=
4
3
3
，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A1，A2）兩點，設直線PA1與直線QA2相交于點M（2x0，y0）．
①試用x0，y0表示點P，Q的坐標；
②求證：點M始終在一條定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線
x2
2
-y2=1有公共焦點，且離心率為
3
2
．A，B分別是橢圓C的左頂點和右頂點．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點．直線AS，BS分別與直線l：x=
10
3
分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長MB交橢圓C于點P，若PS⊥AM，試證明MS2=MB•MP．
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在點T，使得△TSB的面積為
1
5
？若存在確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx，求直線DE的斜截式方程；
（3）設橢圓C的弦DE的中點為（-1，1），求直線DE的斜截式方程；
（4）設直線l：y=x-2與橢圓C交于M、N兩點，O是原點，求△OMN的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•菏澤二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，以原點O為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切；若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點．直線OA和OB的斜率分別為kOA和kOB，且kOA•kOB=-
b2
a2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值．

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